Question

在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別是a，b，c，滿足2

AB

•

AC

=a2-(b+c)2．
（1）求角A的大��；
（2）求sinA•sinB•sinC的最大值，并求取得最大值時(shí)角B，C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（1）由2

AB

•

AC

=a2-(b+c)2．利用數(shù)量積運(yùn)算可得：2bccosA=a²-（b+c）²，展開(kāi)再利用余弦定理可得2bccosA=-2bccosA-2bc，化為cosA=-

1

2

．
（2）由A=

2π

3

，可得C=

π

3

-B，0＜B＜

π

3

．利用兩角和差的正弦公式、倍角公式可得sinA•sinB•sinC=

3

2

sinBsin(

π

3

-B)=

3

4

sin(2B+

π

6

)-

3

8

，由0＜B＜

π

3

．可得

π

6

＜2B+

π

6

＜

5π

6

，當(dāng)2B+

π

6

=

π

2

時(shí)，sinA•sinB•sinC取得最大值，即可得出．

解答： 解：（1）∵

AB

•

AC

=cbcosA，2

AB

•

AC

=a2-(b+c)2．
∴2bccosA=a²-（b+c）²，展開(kāi)為：2bccosA=a²-b²-c²-2bc，
∴2bccosA=-2bccosA-2bc，化為cosA=-

1

2

，
∵A∈（0，π）．∴A=

2π

3

．
（2）∵A=

2π

3

，∴C=

π

3

-B，0＜B＜

π

3

．
∴sinA•sinB•sinC=

3

2

sinBsin(

π

3

-B)
=

3

2

sinB(

3

2

cosB-

1

2

sinB)
=

3

4

sinBcosB-

3

4

sin2B
=

3

8

sin2B-

3

8

(1-cos2B)
=

3

4

(

3

2

sin2B+

1

2

cos2B)-

3

8

=

3

4

sin(2B+

π

6

)-

3

8

，
∵0＜B＜

π

3

．∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

5π

6

，
當(dāng)2B+

π

6

=

π

2

時(shí)，即B=

π

6

時(shí)，sinA•sinB•sinC取得最大值

3

8

，此時(shí)B=C=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、余弦定理、兩角和差的正弦公式、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．