Question

已知以P（2，2）為圓心的圓與橢圓x²+2y²=m交于A、B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)M（x，y）；A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由中點坐標(biāo)公式可得x₁+x₂=2x；y₁+y₂=2y；再由

x

2 1

+2

y

2 1

=m；

x

2 2

+2

y

2 2

=m可化簡得

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

x1+x2

y1+y2

=-

1

2

x

y

，從而利用直線PM與直線AB垂直求點M的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)M（x，y）；A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
則x₁+x₂=2x；y₁+y₂=2y；
由

x

2 1

+2

y

2 1

=m；

x

2 2

+2

y

2 2

=m；
兩式相關(guān)并同除以（x₁-x₂）得，

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

=-

1

2

x

y

；
而k_AB=

y1-y2

x1-x2

，k_PM=

y-2

x-2

；
故

y1-y2

x1-x2

•

y-2

x-2

=-1；
即-

1

2

x

y

•

y-2

x-2

=-1；
化簡可得點M的軌跡方程為xy+2x-4y=0．

點評：本題考查了圓及橢圓的應(yīng)用及軌跡方程的求法，屬于中檔題．