Question

已知點F(-

1

2

，0)，直線n：x=

1

2

，動點P到點F的距離等于它到直線l的距離．
（Ⅰ）試判斷動點P的軌跡C的形狀，并求出其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若過A（0，2）的直線n與軌跡C有且只有一個公共點，求直線n的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）利用拋物線的定義即可得出；
（II）對直線n的斜率分類討論，當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，把直線l的方程與拋物線的聯(lián)立，利用△=0解出即可．

解答： 解：（I）由已知得動點P的軌跡為以點F(

1

2

，0)為焦點，以直線l：x=

1

2

為準(zhǔn)線的拋物線，
∴點P的軌跡方程是y²=-2x．
（II）①當(dāng)直線n的斜率不存在時，直線n的方程為x=0，直線l與拋物線y²=-2x切于點（0，0）．
②當(dāng)直線n斜率存在時，設(shè)直線n的斜率為k，直線n方程為y=kx+2，
代入y²=-2x得：k²x²+2（2k+1）x+4=0． 
當(dāng)k=0時，直線n的方程為y=2，n的方程與拋物線y²=-2x有且只有一個公共點（-2，2）．
當(dāng)k≠0時，由△=0得k=-

1

4

，則直線n的方程：x+4y-8=0．
綜上所述：所求直線n的方程為x=0和y=2及x+4y-8=0．

點評：本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．