Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y²=4ax（a＞0）的焦點為F，M是拋物線C上一點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為9π，則a=（　�。�

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：第一步，由圓的面積得其半徑；
第二步，由△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切知，圓心到焦點的距離等于圓心到準(zhǔn)線的距離；
第三步，建立關(guān)于a的方程，得a的值．

解答： 解：由拋物線方程知，焦點F的坐標(biāo)為（a，0），準(zhǔn)線方程為l：x=-a．
△OMF的外接圓圓心為N，此圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點P，PN與y軸相交于點Q，
則PN⊥l，
根據(jù)圓心在線段OF的垂直平分線上知，QN=

a

2

，
由圓的面積為9π知，圓的半徑為3，得PN=NF=3，即PQ+QN=3．
所以a+

a

2

=3，得a=2．
故選A．

點評：1、本題涉及拋物線與圓的綜合，考查了拋物線的方程及圓的切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是寫出半徑的表達式．
2、本題還可以設(shè)OF的中點為A，則OA=

a

2

，ON=3，從而AN=

9- a2 4

，由圓心N到焦點的距離等于N到準(zhǔn)線的距離知，圓心N在拋物線上，將N的坐標(biāo)代入拋物線方程中，亦可得a的值．