Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₀=8，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1²，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式變形，然后兩邊取對(duì)數(shù)，可得數(shù)列{lga_n-lg2}構(gòu)成以4lg2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由此求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得答案．

解答 解：由a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1²，得$2{a}_{n}={{a}_{n-1}}^{2}$，
兩邊取對(duì)數(shù)得：lg2a_n=2lga_n-1，
∴l(xiāng)ga_n=2lga_n-1-lg2，
即lga_n-lg2=2（lga_n-1-lg2），
又a₀=8，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1²，
∴${a}_{1}=\frac{1}{2}{{a}_{0}}^{2}=32$，
∴l(xiāng)ga₁-lg2=lg32-lg2=lg16=4lg2≠0，
∴數(shù)列{lga_n-lg2}構(gòu)成以4lg2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
則lga_n-lg2=4×2^n-1•lg2=2ⁿ⁺¹lg2，
∴$lg{a}_{n}=（{2}^{n+1}+1）lg2$，
則${a}_{n}={2}^{{2}^{n+1}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是中檔題．