【題目】2018年,依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負載力,短視頻快速崛起;與此同時,移動閱讀方興未艾,從側(cè)面反應(yīng)了人們對精神富足的一種追求,在習(xí)慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后,部分用戶依舊對有著傳統(tǒng)文學(xué)底蘊的嚴肅閱讀青睞有加.
某讀書APP抽樣調(diào)查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時長(單位:分鐘),繪制成頻率分布直方圖如下,其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”.
(1)請?zhí)顚懸韵?/span>列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認為用戶活躍與否與所在城市有關(guān)?
活躍用戶 | 不活躍用戶 | 合計 | |
城市M | |||
城市N | |||
合計 |
(2)以頻率估計概率,從城市M中任選2名用戶,從城市N中任選1名用戶,設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(3)該讀書APP還統(tǒng)計了2018年4個季度的用戶使用時長y(單位:百萬小時),發(fā)現(xiàn)y與季度()線性相關(guān),得到回歸直線為,已知這4個季度的用戶平均使用時長為12.3百萬小時,試以此回歸方程估計2019年第一季度()該讀書APP用戶使用時長約為多少百萬小時.
附:,其中.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) 百萬小時
【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)填入對應(yīng)表格,再根據(jù)卡方公式求,最后對照數(shù)據(jù)作判斷,(2)先確定隨機變量取法,再判斷從M城市中任選的2名用戶中活躍用戶數(shù)服從二項分布,從N城市中任選的1名用戶中活躍用戶數(shù)服從兩點分布,進而求得對應(yīng)概率,列表得分布列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得期望,(3)先求均值,解得,再估計對應(yīng)函數(shù)值.
(1)由已知可得以下列聯(lián)表:
活躍用戶 | 不活躍用戶 | 合計 | |
城市M | 60 | 40 | 100 |
城市N | 80 | 20 | 100 |
合計 | 140 | 60 | 200 |
計算 ,
所以有99.5%的把握認為用戶是否活躍與所在城市有關(guān).
(2)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知,城市M中活躍用戶占,城市N中活躍用戶占,
設(shè)從M城市中任選的2名用戶中活躍用戶數(shù)為,則
設(shè)從N城市中任選的1名用戶中活躍用戶數(shù)為,則服從兩點分布,其中.
故,
;
;
;
.
故所求的分布列為
0 | 1 | 2 | 3 | |
.
(3)由已知可得,又,
可得,所以,所以.
以代入可得(百萬小時),
即2019年第一季度該讀書APP用戶使用時長約為百萬小時.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點,動點滿足,的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過定點作直線交曲線于兩點.設(shè)為坐標原點,若直線與軸垂直,求面積的最大值;
(3)設(shè),在軸上,是否存在一點,使直線和的斜率的乘積為非零常數(shù)?若存在,求出點的坐標和這個常數(shù);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+x-6y+m=0與直線l:x+2y-3=0.
(1)若直線l與圓C沒有公共點,求m的取值范圍;
(2)若直線l與圓C相交于P、Q兩點,O為原點,且OP⊥OQ,求實數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱臺中,,M是的中點,N在線段上,且,過點的平面把這個棱臺分為兩部分,求體積較小部分與體積較大部分的體積比值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
(1)已知在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.
(2)若對任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.
(I)求橢圓的標準方程;
(II)四邊形ABCD的頂點在橢圓上,且對角線AC,BD過原點O,設(shè),滿足.
(i)試證的值為定值,并求出此定值;
(ii)試求四邊形ABCD面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某新上市的電子產(chǎn)品舉行為期一個星期(7天)的促銷活動,規(guī)定購買該電子產(chǎn)品可免費贈送禮品一份,隨著促銷活動的有效開展,第五天工作人員對前五天中參加活動的人數(shù)進行統(tǒng)計,y表示第x天參加該活動的人數(shù),得到統(tǒng)計表格如下,經(jīng)計算得.
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 4 | m | 10 | 23 | 22 |
(1)若y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)預(yù)測該星期最后一天參加該活動的人數(shù)(按四舍五入取到整數(shù)).
參考公式:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若在上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè),若在上至少存在一個,使得成立,求的取值范圍.
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