Question

設(shè)命題p：方程

x2

1-2m

+

y2

m+2

=1表示雙曲線；命題q：?x₀∈R，x₀²+2mx₀+2-m=0
（Ⅰ）若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若命題q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求使“p∨q”為假命題的實數(shù)m的取值范圍．．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：（Ⅰ）命題p為真命題時，方程

x2

1-2m

+

y2

m+2

=1表示雙曲線，求出（1-2m）（m+2）＜0時的解集即可；
（Ⅱ）命題q為真命題時，方程x₀²+2mx₀+2-m=0有解，△≥0，求出解集即可；
（Ⅲ）“p∨q”為假命題時，p、q都是假命題，求出m的取值范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)命題p為真命題時，方程

x2

1-2m

+

y2

m+2

=1表示雙曲線，
∴（1-2m）（m+2）＜0，
解得m＜-2，或m＞

1

2

，
∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m＜-2，或m＞

1

2

}；   …（4分）
（Ⅱ）當(dāng)命題q為真命題時，
方程x₀²+2mx₀+2-m=0有解，
∴△=4m²-4（2-m）≥0，
解得m≤-2，或≥1；
∴實數(shù)m的取值范圍是{|m≤-2，或≥1}；…（6分）
（Ⅲ）當(dāng)“p∨q”為假命題時，p，q都是假命題，
∴

-2≤m≤ 1 2 -2＜m＜1

，
解得-2＜m≤

1

2

；
∴m的取值范圍為（-2，

1

2

]．    …（12分）

點評：本題考查了雙曲線的概念與應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，一元二次方程有解的判斷問題，是綜合題目．