Question

方程x²+

2

x-1=0的解可視為函數(shù)y=x+

2

的圖象與函數(shù)y=

1

x

的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若x⁴+ax-4=0的各個(gè)實(shí)根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所對應(yīng)的點(diǎn)（x_i，

4

xi

）（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：原方程等價(jià)于x3+a=

4

x

，分別作出左右兩邊函數(shù)的圖象：分a＞0與a＜0討論，可得答案．

解答：解析：方程的根顯然x≠0，原方程等價(jià)于x3+a=

4

x

，原方程的實(shí)根是曲線y=x³+a與曲線y=

4

x

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而曲線y=x³+a是由曲線y=x³向上或向下平移|a|個(gè)單位而得到的．若交點(diǎn)（x_i，

4

xi

）（i=1，2，k）均在直線y=x的同側(cè)，因直線y=x與y=

4

x

交點(diǎn)為：（-2，-2），（2，2）；

所以結(jié)合圖象可得：

a＞0 x3+a＞-2 x≥-2

或

a＜0 x3+a＜2 x≤2

?a∈(-∞，-6)∪(6，+∞)；

點(diǎn)評：華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微．?dāng)?shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非．”數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．