Question

如圖，矩形ABCD所在的平面與四邊形ABEF所在的平面互相垂直，已知四邊形ABEF為等腰梯形，點O為AB的中點，M為CD的中點，AB∥EF，AB=2，AF=EF=1．
（1）求證：平面DAF⊥平面CBF；
（2）若直線AM與平面CBF所成角的正弦值為

5

10

，求AD的長．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面DAF⊥平面CBF；
（2）根據(jù)線面所成的角的定義建立條件關系即可求AD的長

解答： 解：（1）過F作FG⊥AB，
∵四邊形ABEF為等腰梯形，且AB=2，AF=EF=1，
∴AG=

1

2

，∠BAF=60°，
∵余弦定理得BF=

3

，
∴AF²+BF²=AB²，
即AF⊥BF，
∵矩形ABCD，∴BC⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF=AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥BC，
∵BF∩BC=B，
∴AF⊥面CBF，
∵AF⊥面DAF，
∴平面DAF⊥平面CBF
（2）連結(jié)OC，則AM∥OC，
則直線OC與平面CBF所成的角即可為直線AM與CBF所成的角，
取BF的中點H，連結(jié)OH，
∵O，H分別是AB，BF的中點，∴OH∥AF，
由（1）知，AF⊥面CBF，
∴OH⊥面CBF，
即∠OCH即為所求角，
設AD=t，則OC=AM=

1+t2

，
則sin∠OCH=

OH

OC

=

1 2

1+t2

=

5

10

，解得t=2，
∴AD=2．

點評：本題主要考查面面垂直的判定以及線面所成角的定義，要求熟練掌握常見的定理，綜合性較強．