Question

6．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{3}$，AA₁=2，AD=1，E、F分別是AA₁和BB₁的中點，G是DB上的點，且DG=2GB．
（I）作出長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EB₁C所截的截面（只需作出，說明結果即可）；
（II）求證：GF∥平面EB₁C；
（III）設長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EB₁C所截得的兩部分幾何體體積分別為V₁、V₂（V₁＞V₂），求$\frac{{V}_{2}}{{V}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中點M，連結EM，MC，則EMCB₁即為所求截面．
（Ⅱ）設MC∩DB=N，連結B₁N，推導出FG∥B₁N，由此能證明GF∥平面EB₁C．
（Ⅲ）延長B₁E、CM必相交于BA延長線于點O，由${V}_{AME-BC{B}_{1}}$=${V}_{O-BC{B}_{1}}$-V_O-AME，${V}_{C{C}_{1}{B}_{1}D{D}_{1}{A}_{1}EM}$=${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{{D}_{1}}^{\;}}$-${V}_{AME-BC{B}_{1}}$，能求出$\frac{{V}_{2}}{{V}_{1}}$的值．

解答 解：（Ⅰ）取AD的中點M，連結EM，MC，
則EMCB₁即為長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EB₁C所截的截面．
證明：（Ⅱ）設MC∩DB=N，連結B₁N，
依題意知AD∥BC，∴△DMN∽△BCN，
∴$\frac{DN}{BN}=\frac{DM}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵DG=2GB，∴DN=NG=GB，
∵B₁F=FB，∴FG∥B₁N，
∵FG?平面EB₁C，B₁N?平面EB₁C，
∴GF∥平面EB₁C．
解：（Ⅲ）延長B₁E、CM必相交于BA延長線于點O，
∵AM∥BC，∴△OAM∽△OBC，∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AM}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴OA=AB=$\sqrt{3}$，
∴${V}_{AME-BC{B}_{1}}$=${V}_{O-BC{B}_{1}}$-V_O-AME=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2\sqrt{3}$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{12}$，
${V}_{C{C}_{1}{B}_{1}D{D}_{1}{A}_{1}EM}$=${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{{D}_{1}}^{\;}}$-${V}_{AME-BC{B}_{1}}$=$1×\sqrt{3}×2-\frac{7\sqrt{3}}{12}=\frac{17\sqrt{3}}{12}$，
∴$\frac{{V}_{2}}{{V}_{1}}$=$\frac{{V}_{AME-BC{B}_{1}}}{{V}_{{B}_{1}{C}_{1}C{A}_{1}{D}_{1}DME}}$=$\frac{\frac{7\sqrt{3}}{12}}{\frac{17\sqrt{3}}{12}}$=$\frac{7}{17}$．
故$\frac{{V}_{2}}{{V}_{1}}$的值為$\frac{7}{17}$．

點評 本題考查截面的作法，考查線面平行的證明，考查兩個幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．