【題目】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,點(diǎn)E在AB上,AE=2EB=2,且DE⊥AB.以DE為折痕把△ADE折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)F的位置,且∠FEB=60°.
(1)求證:平面BFC⊥平面BCDE;
(2)若直線DF與平面BCDE所成角的正切值為,求二面角E﹣DF﹣C的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)首先通過證明平面證得.結(jié)合余弦定理和勾股定理證得,由此證得平面,進(jìn)而證得平面平面.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,由直線與平面所成角的正切值求得正弦值,結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量列方程,解方程求得的長.由此通過平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的余弦值,進(jìn)而求得其正弦值.
(1)證明:∵DE⊥AB,∴DE⊥EB,DE⊥EF,
∴DE⊥平面BEF,∴DE⊥BF,
∵AE=2EB=2,∴EF=2,EB=1,
∵∠FEB=60°,∴由余弦定理得BF,
∴EF2=EB2+BF2,∴FB⊥EB,
由①②得BF⊥平面BCDE,
∴平面BFC⊥平面BCDE.
(2)解:以B為原點(diǎn),BA為x軸,在平面ABCD中過點(diǎn)B作AB的垂線為y軸,BF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)DE=a,則D(1,a,0),F(0,0,),(﹣1,﹣a,),
∵直線DF與平面BCDE所成角的正切值為,
∴直線DF與平面BCDE所成角的正弦值為,
平面BCDE的法向量(0,0,1),
∴|cos|,解得a=2,
∴D(1,2,0),C(﹣2,2,0),∴(0,2,0),(﹣1,﹣2,),
設(shè)平面EDF的法向量(x,y,z),
則,取z=1,得(),
同理得平面DFC的一個(gè)法向量(0,,2),
∴cos,
∴二面角E﹣DF﹣C的正弦值為sin.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn),求到直線距離的最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線,一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到,任畫一條線段,然后把它均分成三等分,以中間一段為邊向外作正三角形,并把中間一段去掉,這樣,原來的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線,稱為“一次構(gòu)造”;用同樣的方法把每條小線段重復(fù)上述步驟,得到16條更小的線段構(gòu)成的折線,稱為“二次構(gòu)造”,…,如此進(jìn)行“次構(gòu)造”,就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達(dá)到初始線段的1000倍,則至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是( ).(取,)
A.16B.17C.24D.25
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)生考試中答對(duì)但得不了滿分的原因多為答題不規(guī)范,具體表現(xiàn)為:解題結(jié)果正確,無明顯推理錯(cuò)誤,但語言不規(guī)范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等,記此類解答為“類解答”.為評(píng)估此類解答導(dǎo)致的失分情況,某市教研室做了一項(xiàng)試驗(yàn):從某次考試的數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取若干屬于“類解答”的題目,掃描后由近百名數(shù)學(xué)老師集體評(píng)閱,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),滿分12分的題,閱卷老師所評(píng)分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例大約如下表:
教師評(píng)分(滿分12分) | 11 | 10 | 9 |
各分?jǐn)?shù)所占比例 |
某次數(shù)學(xué)考試試卷評(píng)閱采用“雙評(píng)+仲裁”的方式,規(guī)則如下:兩名老師獨(dú)立評(píng)分,稱為一評(píng)和二評(píng),當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于等于1分時(shí),取兩者平均分為該題得分;當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于1分時(shí),再由第三位老師評(píng)分,稱之為仲裁,取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分;當(dāng)一、二評(píng)分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對(duì)值相同時(shí),取仲裁分?jǐn)?shù)和前兩評(píng)中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分.(假設(shè)本次考試閱卷老師對(duì)滿分為12分的題目中的“類解答”所評(píng)分?jǐn)?shù)及比例均如上表所示,比例視為概率,且一、二評(píng)與仲裁三位老師評(píng)分互不影響).
(1)本次數(shù)學(xué)考試中甲同學(xué)某題(滿分12分)的解答屬于“類解答”,求甲同學(xué)此題得分的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)本次數(shù)學(xué)考試有6個(gè)解答題,每題滿分均為12分,同學(xué)乙6個(gè)題的解答均為“類解答”,記該同學(xué)6個(gè)題中得分為的題目個(gè)數(shù)為,,,計(jì)算事件“”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度,其莖葉圖數(shù)據(jù)如圖.根據(jù)莖葉圖,下列描述正確的是( )
A.甲種樹苗的中位數(shù)大于乙種樹苗的中位數(shù),且甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊
B.甲種樹苗的中位數(shù)大于乙種樹苗的中位數(shù),但乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊
C.乙種樹苗的中位數(shù)大于甲種樹苗的中位數(shù),且乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊
D.乙種樹苗的中位數(shù)大于甲種樹苗的中位數(shù),但甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國慶節(jié)來臨,某公園為了豐富廣大人民群眾的業(yè)余生活,特地以“我們都是中國人”為主題舉行猜謎語競賽.現(xiàn)有兩類謎語:一類叫事物謎,就是我們常說的謎語;另一類叫文義謎,也就是我們常說的燈謎,共8道題,其中事物謎4道題,文義謎4道題,孫同學(xué)從中任取3道題解答.
(1)求孫同學(xué)至少取到2道文義謎題的概率;
(2)如果孫同學(xué)答對(duì)每道事物謎題的概率都是,答對(duì)每道文義謎題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立,已知孫同學(xué)恰好選中2道事物謎題,1道文義謎題,用表示孫同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人民生活水平的提高,以及城市垃圾分類收集的實(shí)施和推廣,我國居民生活垃圾的平均熱值逐年.上升,垃圾焚燒發(fā)電的噸上網(wǎng)電量(單位:千瓦時(shí)/噸)顯著增加.下表為某垃圾焚燒發(fā)電廠最近五個(gè)月的生產(chǎn)數(shù)據(jù).
月份代碼 | |||||
噸上網(wǎng)電量 | |||||
若從該發(fā)電廠這五個(gè)月的生產(chǎn)數(shù)據(jù)(噸上網(wǎng)電量)中任選兩個(gè),求其中至少有一個(gè)生產(chǎn)數(shù)據(jù)超過的概率;
通過散點(diǎn)圖(如圖)可以發(fā)現(xiàn),變量與之間的關(guān)系可以用函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))來擬合,求常數(shù),的值.
參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列,把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是( )
A. 在上是增函數(shù)B. 其圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 函數(shù)是偶函數(shù)D. 在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,原點(diǎn)為,橢圓的動(dòng)弦過焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸,弦的中點(diǎn)為,過且垂直于線段的直線交射線于點(diǎn).
(1)證明:點(diǎn)在定直線上;
(2)當(dāng)最大時(shí),求的面積.
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