Question

17．已知點(diǎn)P為拋物線y²=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓x²+（y-7）²=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值是（　�。�

• A． 5$\sqrt{2}$-7
• B． 5$\sqrt{2}$-2
• C． 5$\sqrt{2}$-1
• D． 5$\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 求得圓的圓心M和半徑，點(diǎn)P到點(diǎn)Q距離為d≥|PM|-1．運(yùn)用拋物線的定義可得點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|-1，再由當(dāng)F，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值．計(jì)算|FM|，即可得到所求最小值．

解答 解：設(shè)圓心坐標(biāo)為M（0，7），半徑r=1，
點(diǎn)P到點(diǎn)Q距離為d，則d≥|PM|-1．
根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|-1，
兩者之和為d+|PF|-1≥|PF|+|PM|-2≥|FM|-2，
當(dāng)F，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值．
又拋物線焦點(diǎn)F（1，0），|FM|=5$\sqrt{2}$，
則|FM|-2=5$\sqrt{2}$-2，
故所求最小值為5$\sqrt{2}$-2，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)考查三點(diǎn)共線取得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．