Question

18．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1，若A₁C與平面B₁BCC₁所成的角為$\frac{π}{6}$，則三棱錐A₁-ABC的體積為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 由已知可得A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，連接B₁C，則∠A₁CB₁為A₁C與平面B₁BCC₁所成的角為$\frac{π}{6}$，求解直角三角形得到BB₁，再由棱錐體積公式求得三棱錐A₁-ABC的體積．

解答 解：如圖，

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵∠ABC=90°，
A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，連接B₁C，則∠A₁CB₁為A₁C與平面B₁BCC₁所成的角為$\frac{π}{6}$，
∵A₁B₁=AB=1，∴${B}_{1}C=\sqrt{3}$，
又BC=1，∴$B{B}_{1}=\sqrt{2}$．
∴${V}_{{A}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，考查直角三角形的解法，是中檔題．