Question

如圖，四邊形ABCD中，為正三角形，，，AC與BD交于O點(diǎn)．將沿邊AC折起，使D點(diǎn)至P點(diǎn)，已知PO與平面ABCD所成的角為，且P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影落在內(nèi)．

（Ⅰ）求證：平面PBD；
（Ⅱ）若時(shí)，求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）取BD中點(diǎn)Q，證得Q與O重合。則面PBD
（2）

試題分析：（1）取BD中點(diǎn)Q，則三點(diǎn)共線，即Q與O重合。
則面PBD
（2）因?yàn)锳C面PBD，而面ABCD，所以面ABCD面PBD，則P點(diǎn)在面ABCD上的射影點(diǎn)在交線BD上（即在射線OD上），所以PO與平面ABCD所成的角。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為軸，OB為軸建空間直角坐標(biāo)系。，因?yàn)锳C面PBD，所以面PBD的法向量，設(shè)面PAB的法向量，又，由，得①，又，由，得
 ②， 在①②中令，可得，則
所以二面角的余弦值
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，將立體問題轉(zhuǎn)化成平面問題，是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。通過就落實(shí)黨的坐標(biāo)系，利用空間向量，免去了繁瑣的邏輯推理過程，對(duì)計(jì)算能力要求較高。