Question

5．已知f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是a＜0或1＜a≤4．

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，結(jié)合f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)，則f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上恒有意義，可得滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：①當(dāng)a＜0時(shí)，
2-ax在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)，且恒為正，
a-1＜0，故f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)，滿足條件；
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-$\sqrt{2}$為常數(shù)函數(shù)，在[0，$\frac{1}{2}$]上不是減函數(shù)，不滿足條件；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，2-ax在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)，且恒為正，
a-1＜0，故f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)，不滿足條件；
④當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)解析式無意義，不滿足條件；
⑤當(dāng)0＜a＜1時(shí)，2-ax在[0，$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)，
a-1＞0，若f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)，
則2-ax≥0恒成立，即a≤4，故1＜a≤4；
綜上可得：a＜0或1＜a≤4，
故答案為：a＜0或1＜a≤4

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想，難度中檔．