Question

14．設函數f（x）=ax³+3x-1（x∈R），若對于任意的x∈[0，1]都有f（x）≤0成立，則實數a的取值范圍是（-∞，-4]．

Answer 1

分析 對x討論，當x=0，a∈R，
當x∈（0，1]時，f（x）=ax³+3x-1≤0可化為a≤$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{3}{{x}^{2}}$
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{3}{{x}^{2}}$，利用導數求出g（x）最小值即可．

解答 解：若x=0，則不論a取何值，f（x）≤0都成立；
當x∈（0，1]時，f（x）=ax³+3x-1≤0可化為：a≤$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{3}{{x}^{2}}$
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{3}{{x}^{2}}$，g′（x）=$\frac{3（2x-1）}{{x}^{4}}$
所以g（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]上單調遞減，在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上單調遞增，
因此g（x）_min=g（$\frac{1}{2}$）=-4，從而a≤-4；
即有實數a的取值范圍為（-∞，-4]．
 故答案為：{-∞，-4]

點評 本題考查不等式恒成立問題，解題時要認真審題，分離參數法是處理恒成立的常見方法，屬于中檔題．