Question

已知直線l經過直線l₁：3x+2y-5=0，l₂：2x+3y-5=0的交點M，
（1）若l⊥l₁，求直線l的方程；
（2）求點（2，1）到直線l的距離的最大值．

Answer 1

考點：直線的一般式方程與直線的垂直關系,點到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）解方程組可得兩條直線的交點為（1，1），由垂直關系可設與l₁：3x+2y-5=0垂直的直線方程為2x-3y+b=0，代點求b值即可；
（2）直線l過定點（1，1），當直線斜率不存在時，點（2，1）到l：x=1距離為d=1，當直線斜率存在時，設其方程為kx-y+1-k=0，由距離公式和不等式的性質可得．

解答： 解：（1）聯立

3x+2y-5=0 2x+3y-5=0

，解得

x=1 y=1

∴兩條直線的交點為（1，1），
設與l₁：3x+2y-5=0垂直的直線方程為2x-3y+b=0，
又過點（1，1），代入得b=1，
∴直線方程為2x-3y+1=0；
（2）∵直線l過定點（1，1），
當直線斜率不存在時，點（2，1）到l：x=1距離為d=1，
當直線斜率存在時，設其方程為：y-1=k（x-1）即kx-y+1-k=0；
點（2，1）到直線l的距離d=

|k|

1+k2

=

k2 1+k2

=

1- 1 1+k2

＜1
∴當l：x=1時，點（2，1）到直線l的距離的最大值為1．

點評：本題考查直線的一般式方程和垂直關系，涉及分類討論的思想，屬基礎題．