Question

5．已知函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（1）若$a=3\sqrt{e}$，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，求函數(shù)$g（x）=\frac{f（x）}{x}$的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出f（x）的導數(shù)，得2xlnx+x=a，設h（x）=2xlnx+x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）$F（x）=\frac{{{{（x-a）}^2}lnx}}{x}$，$F'（x）=\frac{{（{x^2}-a）lnx+{{（x-a）}^2}}}{x^2}=\frac{（x-a）[（x+a）lnx+x-a]}{x^2}$，
由$a=3\sqrt{e}$知，$F'（x）=\frac{{（x-3\sqrt{e}）[（x+3\sqrt{e}）lnx+x-3\sqrt{e}]}}{x^2}$，
設$m（x）=（x+3\sqrt{e}）lnx+x-3\sqrt{e}$，
則$m'（x）=lnx+\frac{{3\sqrt{e}}}{x}+2$，$m''（x）=\frac{1}{x}-\frac{{3\sqrt{e}}}{x^2}=\frac{{x-3\sqrt{e}}}{x^2}$，
∴$m'（x）≥m'（3\sqrt{e}）=ln（3\sqrt{e}）+3＞0$，
∴m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，觀察知m（e）=0，
∴當$x∈（0，\sqrt{e}）$時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；
當$x∈（\sqrt{e}，3\sqrt{e}）$時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；
當$x∈（3\sqrt{e}，+∞）$時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增．
（2）f（x）=（x-a）²lnx，$f'（x）=2（x-a）lnx+{（x-a）^2}•\frac{1}{x}=（x-a）（2lnx+\frac{x-a}{x}）$，
由$2lnx+\frac{x-a}{x}=0$，得2xlnx+x=a，
設h（x）=2xlnx+x，則h'（x）=3+2lnx，由h'（x）=0，得$x={e^{-\frac{3}{2}}}$．
當$x∈（0，{e^{-\frac{3}{2}}}）$時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當$x∈（{e^{-\frac{3}{2}}}，+∞）$時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
∴$h{（x）_{min}}=h（{e^{-\frac{3}{2}}}）=-2{e^{-\frac{3}{2}}}$．
又x→0⁺時h（x）→0，x→∞時h（x）→+∞，
∴$a≥-2{e^{-\frac{3}{2}}}$，這是必要條件．
檢驗：當$a=-2{e^{-\frac{3}{2}}}$時，f（x）既無極大值，也無極小值；
當$-2{e^{-\frac{3}{2}}}＜a＜0$時，滿足題意；當a=0時，f（x）只有一個極值點，舍去；
當a＞0時，則$2lna+\frac{a-1}{a}≠0$，則a≠1．
綜上，符合題意的a的范圍為$a＞-2{e^{-\frac{3}{2}}}$且a≠0且a≠1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．