Question

4．已知函數(shù)f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|在R上存在零點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m為最小值時(shí)，若$\frac{1}{m\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2m\sqrt}$+$\frac{1}{3m\sqrt{c}}$=1，求證：$\frac{1}{9}$$\sqrt{a}$+$\frac{2}{9}$$\sqrt$+$\frac{1}{3}$$\sqrt{c}$≥$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用絕對(duì)值的應(yīng)用將函數(shù)表示成分段函數(shù)形式，求出函數(shù)的最小值即可得到結(jié)論．
（2）求出m的最小值，利用1的代換以及基本不等式進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）由f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|在R上存在零點(diǎn)．
則等價(jià)為f（x）=m-|2x+1|-|2x-3|=0有解，
即m=|2x+1|+|2x-3|在R上有解．
設(shè)g（x）=|2x+1|+|2x-3|，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-2，}&{x＞\frac{3}{2}}\\{4，}&{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2-4x，}&{x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）的最小值為4，
則m≥4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4，+∞）．
（2）由（1）知，m的最小值為4，則$\frac{1}{m\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2m\sqrt}$+$\frac{1}{3m\sqrt{c}}$=1等價(jià)為$\frac{1}{\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2\sqrt}$+$\frac{1}{3\sqrt{c}}$=4，
則$\sqrt{a}+2\sqrt+3\sqrt{c}$=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{a}+2\sqrt+3\sqrt{c}$）（$\frac{1}{\sqrt{a}}$+$\frac{1}{2\sqrt}$+$\frac{1}{3\sqrt{c}}$）=$\frac{1}{4}$[3+（$\frac{2\sqrt}{\sqrt{a}}$+$\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt}$）+（$\frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{3\sqrt{c}}$）+（$\frac{3\sqrt{c}}{2\sqrt}+\frac{2\sqrt}{3\sqrt{c}}$）]≥$\frac{1}{4}$（3+2+2+2）=$\frac{9}{4}$，
即$\frac{1}{9}$$\sqrt{a}$+$\frac{2}{9}$$\sqrt$+$\frac{1}{3}$$\sqrt{c}$≥$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用以及基本不等式的求解，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．