Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤1）}\\{lo{g}_{3}x（x＞1）}\end{array}\right.$，若f[f（$\frac{1}{a}$）]=2，則a=3^-1或3^-9．

Answer 1

分析 由題意得${2}^{f（\frac{1}{a}）}$=2或log₃f（$\frac{1}{a}$）=2，從而可得f（$\frac{1}{a}$）=1或f（$\frac{1}{a}$）=9，再分別代入求之即可．

解答 解：∵f[f（$\frac{1}{a}$）]=2，
∴${2}^{f（\frac{1}{a}）}$=2或log₃f（$\frac{1}{a}$）=2，
∴f（$\frac{1}{a}$）=1或f（$\frac{1}{a}$）=9，
若f（$\frac{1}{a}$）=1，
則${2}^{\frac{1}{a}}$=1或log₃$\frac{1}{a}$=1，
故$\frac{1}{a}$=3，即a=3^-1，
若f（$\frac{1}{a}$）=9，
則${2}^{\frac{1}{a}}$=9或log₃$\frac{1}{a}$=9，
故$\frac{1}{a}$=log₂9＞1或$\frac{1}{a}$=3⁹，
即a=3^-9，
故答案為：3^-1或3^-9．

點評 本題考查了復合函數(shù)的應用及分類討論的思想應用，同時考查了整體思想的應用．