Question

f（x）=ax（x-1）（a≠0）圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y=log₂x的圖象上，若h（x）=|f（x）|+m恰有2個零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）=ax（x-1）（a≠0）圖象的頂點(diǎn)（

1

2

，-

a

4

），在函數(shù)y=log₂x的圖象上，可求出a值，進(jìn)而得到f（x）的解析式，由函數(shù)圖象的對折變換得到函數(shù)y=|f（x）|的圖象，再由h（x）=|f（x）|+m恰有2個零點(diǎn)，則函數(shù)y=|f（x）|的圖象與直線y=-m有且只有兩個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得到m的取值范圍．

解答： 解：f（x）=ax（x-1）（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為（

1

2

，-

a

4

），
故-

a

4

=log₂

1

2

=-1，故a=4，
故f（x）=4x（x-1），
則函數(shù)y=|f（x）|的圖象如下圖所示：

若h（x）=|f（x）|+m恰有2個零點(diǎn)，
則函數(shù)y=|f（x）|的圖象與直線y=-m有且只有兩個交點(diǎn)，
故-m＞1，或-m=0，
則m＜-1或m=0．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的對折變換，函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．