12.已知f1(x)=(x2+2x+1)ex,f2(x)=[f1(x)]′,f3(x)=[f2(x)]′,…,fn+1(x)=[fn(x)]′,n∈N*.設(shè)fn(x)=(anx2+bnx+cn)ex,則c100=(  )
A.9903B.9902C.9901D.9900

分析 先求導(dǎo),再知道cn的通項公式即可求出答案.

解答 解:∵f1(x)=(x2+2x+1)ex
∴f2(x)=[f1(x)]′=(x2+4x+3)ex,
f3(x)=[f2(x)]′=(x2+6x+7)ex
f4(x)=[f3(x)]′=(x2+8x+13)ex,
數(shù)列{cn}為1,3,7,13,…,
∵1=1×(1-1)+1,3=(2-1)×2+1,7=(3-1)×3+1,13=(4-1)×4+1,
∴cn=n(n-1)+1=n2-n+1,
∴fn(x)=(x2+2nx+n2-n+1)ex
∴c100=1002-100+1=9901,
故選:C

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則和歸納推理的問題,屬于中檔題.

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