Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a+2}{x}$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 判斷參數(shù)a+2的取值，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系進行求解即可．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
若a+2=0，即a=-2時，f（x）=lnx，此時函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（0，+∞），
若a+2＜0，即a＜-2時，f（x）=lnx+$\frac{a+2}{x}$，此時函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（0，+∞），
若a+2＞0，即a＞-2時，f（x）=lnx+$\frac{a+2}{x}$的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a+2}{{x}^{2}}$=$\frac{x-（a+2）}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x-（a+2）＞0，即x＞a+2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（a+2，+∞），
由f′（x）＜0得x-（a+2）＜0，即0＜x＜a+2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，遞減區(qū)間為（0，a+2）．
綜上若a≤-2，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
若a＞-2，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（a+2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a+2）．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解和判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．