Question

1．已知直線l：y=k（x+2），曲線$Γ：\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}-y=0$，則當(dāng)k∈[-1，1]，直線l與曲線Γ有兩個(gè)交點(diǎn)的概率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{8}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意，直線l：y=k（x+2）過定點(diǎn)（-2，0），曲線$Γ：\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}-y=0$，即（x-1）²+y²=1（y≥0），表示以（1，0）為圓心，1為半徑的上半圓，求出直線l與曲線Γ有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件，以長度為測度，即可求出概率．

解答 解：由題意，直線l：y=k（x+2）過定點(diǎn)（-2，0），曲線$Γ：\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}-y=0$，即（x-1）²+y²=1（y≥0），表示以（1，0）為圓心，1為半徑的上半圓，
直線與半圓相切時(shí)，k=$\frac{1}{\sqrt{9-1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴直線l與曲線Γ有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件為0＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴所求概率P=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}-0}{1-（-1）}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查概率知識的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定直線l與曲線Γ有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是關(guān)鍵．