Question

14．底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S-ABCD，該四棱錐的體積為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，則該四棱錐的外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$π
• B． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{32\sqrt{2}}{3}$π
• D． $\frac{64\sqrt{2}}{3}π$

Answer 1

分析 設(shè)出球的半徑，利用棱錐的體積公式，求解半徑，然后求解四棱錐的外接球的體積．

解答 解：連結(jié)AC，BD交點為0，設(shè)球的半徑為r，
由題意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．
則AB=$\sqrt{2}$r，
四棱錐的體積為$\frac{1}{3}×（\sqrt{2}r）^{2}×r$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得r=$\sqrt{2}$，
四棱錐的外接球的體積為：V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$，
故選：B．

點評 本題考查四棱錐SABCD的體積的計算，確定球的半徑關(guān)系式是關(guān)鍵．