Question

9．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），總有f′（x）＞f（x）+ex-lnx成立，且f（2）=e²-2，則不等式f（x）≥e^x-2的解集為[2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=ex-lnx-2，求導(dǎo)，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，求得g（x）的最小值，再構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{x}}$，求導(dǎo)，求得h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上遞增，即f（x）≥e^x-2，由f（2）=e²-2，得h（x）≥h（2），即可求得不等式的解集．

解答 解：令g（x）=ex-lnx-2，則g′（x）=e-$\frac{1}{x}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）時，g′（x）＜0；g（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x∈（0，+∞）時，g（x）≥g（$\frac{1}{e}$）=0，
再令h（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{x}}$，則h′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）-2}{{e}^{x}}$＞$\frac{ex-lnx-2}{{e}^{x}}$=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上遞增，
∴f（x）≥e^x-2，即$\frac{f（x）+2}{{e}^{x}}$≥1，h（x）≥h（2），
∴x≥2，
∴解集為：[2，+∞），
故答案為：[2，+∞）．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．