Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_n=-3S_n+4，b_n=-log₂a_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式與數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=$\frac{_{n}}{{2}^{n+1}}$，其中n∈N*，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n+$\frac{n+2}{{2}^{n}}$的值．

Answer 1

分析 （1）a_n=-3S_n+4，n≥2時(shí)，a_n-1=-3S_n-1+4，相減可得：a_n-a_n-1=-3a_n，即a_n=$\frac{1}{4}{a}_{n-1}$．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．代入b_n=-log₂a_n+1，即可得出．
（2）c_n=$\frac{_{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，其中n∈N*，利用錯(cuò)位相減法即可得出．

解答 解：（1）a_n=-3S_n+4，n≥2時(shí)，a_n-1=-3S_n-1+4，相減可得：a_n-a_n-1=-3a_n，可得a_n=$\frac{1}{4}{a}_{n-1}$．
n=1時(shí)，a₁=-3a₁+4，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{4}$．
∴a_n=$（\frac{1}{4}）^{n-1}$．
b_n=-log₂a_n+1=-$lo{g}_{2}{4}^{-n}$=2n．
（2）c_n=$\frac{_{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，其中n∈N*，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．
∴T_n+$\frac{n+2}{{2}^{n}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．