已知正方形ABCD，M是DC的中點(diǎn)，由
AM
=m
AB
+n
AC
，確定m，n的值，計(jì)算定積分
∫
nπ
mπ
cosxdx=
1
1
．
分析：通過(guò)作圖把向量
AM
寫(xiě)成向量
AB
與
AC
的線性表示，結(jié)合
AM
=m
AB
+n
AC
可以求得m和n的值，然后運(yùn)用微積分基本定理求解定積分
∫
nπ
mπ
cosxdx．
解答：解：如圖，

由
AM
=
1
2
(
AD
+
AC
)=
1
2
(
AC
-
AB
+
AC
)
=-
1
2
AB
+
AC
，
又由
AM
=m
AB
+n
AC
，所以m=-
1
2
，n=1，
則
∫
nπ
mπ
cosxdx
=∫
π
-
1
2
π
cosxdx=sin
x|
π
-
1
2
π
=sinπ-sin（-
π
2
）=1．
故答案為1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了微積分基本定理，考查了平面向量基本定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形求出m和n的值，此題屬中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，則（
.
AP
+
.
BD
）•（
.
PB
+
.
PD
）的最大值為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，則|
AB
+
BC
+
AC
|=（　�。�
A、0
B、2
C、
2
D、2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連接AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P．
（1）求證：AP⊥EF；
（2）求證：平面APE⊥平面APF；
（3）求異面直線PA和EF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知正方形ABCD．E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為θ（0＜θ＜π）．
（Ⅰ）證明BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若△ACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角θ的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•虹口區(qū)二模）（理）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）若E是棱PB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、D、E的平面交棱PC于F，求證：BC∥EF；
（2）求二面角A-PB-D的大�。�

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