Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，，以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）求已知曲線和曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）或.

【解析】

（1）根據(jù)參數(shù)方程化普通方程、極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的原則可直接化簡求得結(jié)果；

（2）將曲線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)化后代入曲線直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義知，由此結(jié)合韋達(dá)定理構(gòu)造方程組可求得結(jié)果.

（1）由參數(shù)方程消去參數(shù)得普通方程為：；

的極坐標(biāo)方程可化為，

，即；

（2）將曲線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)化為，（為參數(shù)，），

代入曲線得：，

由得：，

設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，由題意得：，即或，

當(dāng)時(shí)，，解得：；

當(dāng)時(shí)，，解得：；

綜上所述：或.