Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若在點(diǎn)處的切線與軸平行，且函數(shù)在時(shí)，其圖象上每一點(diǎn)處切線的傾斜角均為銳角，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）求得導(dǎo)函數(shù)，題意說明有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，或直線與函數(shù)的有兩個(gè)交點(diǎn)，可用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)（單調(diào)性，極值等），再結(jié)合圖象可得的范圍；

（2）首先題意說明，從而有且，其次時(shí)，恒成立，因此的最小值大于0，這可由導(dǎo)數(shù)來研究，從而得出的范圍．

詳解：（1) ）當(dāng)時(shí)，，，

所以有兩個(gè)極值點(diǎn)就是方程有兩個(gè)解，

即與的圖像的交點(diǎn)有兩個(gè).

∵，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.有極大值

又因?yàn)?/span>時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)與的圖像的交點(diǎn)有0個(gè)；

當(dāng)或時(shí)與的圖像的交點(diǎn)有1個(gè)；

當(dāng)時(shí)與的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)；

綜上.

（2）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以且，因?yàn)?/span>，

所以且；

在時(shí)，其圖像的每一點(diǎn)處的切線的傾斜角均為銳角，

即當(dāng)時(shí)，恒成立，即

，

令，∴

設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以，∴，

∴在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，

∴，當(dāng)且時(shí)，，

所以在單調(diào)遞增；

∴成立

當(dāng)，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以，，

所以存在有；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有，不恒成立；

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.