Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，f（x）=x-2，則有下面三個(gè)式子：①f（sin

1

2

）＜f（cos

1

2

）；②f（sin

π

3

）＜f（cos

π

3

）；③f（sin1）＜f（cos1）；其中一定成立的是_{_____}．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）=f（x+2）知T=2為f（x）的一個(gè)周期，設(shè)x∈[-1，0]知x+4∈[3，4]，f（x）=f（x+4）=x+4-2=x+2．
畫函數(shù)的圖象，知函數(shù)在（0，1）上遞減，比較自變量的大小可得答案．

解答： 解：由f（x）=f（x+2）知T=2為f（x）的一個(gè)周期，設(shè)x∈[-1，0]知x+4∈[3，4]，f（x）=f（x+4）=x+4-2=x+2．
圖象如圖：

對(duì)于①：sin

1

2

＜cos

1

2

⇒f（sin

1

2

）＞f（cos

1

2

）．
對(duì)于②：sin

π

3

＞cos

π

3

⇒f（sin

π

3

）＜f（cos

π

3

）．
對(duì)于③：sin1＞cos1⇒f（sin1）＜f（cos1）．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性與函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．