Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C 所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a²，$\frac{3^{2}}{4}$，c²成等差數(shù)列，則sinB的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，求得cosB≥$\frac{1}{2}$，可得0＜B≤$\frac{π}{3}$，再根據(jù)sinB在（0，$\frac{π}{3}$]單調(diào)遞增，求得sinB的最大值．

解答 解：△ABC中，∵a²，$\frac{3^{2}}{4}$，c²成等差數(shù)列，∴$\frac{{3b}^{2}}{2}$=a²+c²，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{6ac}$≥$\frac{1}{3}$，故cosB的最小值為$\frac{1}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立．
又 0＜B＜π，∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，∵sinB在（0，$\frac{π}{3}$]單調(diào)遞增，
故sinB的最大值為sin$\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，求得cosB≥$\frac{1}{2}$，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．