Question

4．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為DD₁和BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AEC₁F是平行四邊形；
（2）求AE和AF之間的夾角的余弦值；
（3）求四邊形AEC₁F的面積．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{F{C}_{1}}$，由此能證明AEC₁F是平行四邊形．
（2）求出$\overrightarrow{AE}$=（-a，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{AF}$=（0，a，$\frac{a}{2}$），由此利用向量法能求出AE和AF之間的夾角的余弦值．
（3）四邊形AEC₁F的面積S=2S_△AEF=2×2×$|\overrightarrow{AE}|×|\overrightarrow{AF}|$×$sin＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}＞$，由此利用向量法能求出結(jié)果．

解答 （1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得A（a，0，0），E（0，0，$\frac{a}{2}$），F(xiàn)（a，a，$\frac{a}{2}$），C₁（0，a，a），
$\overrightarrow{AE}$=（-a，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{F{C}_{1}}$=（-a，0，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{F{C}_{1}}$，∴AE$\underset{∥}{=}$FC₁，
∴AEC₁F是平行四邊形．
（2）解：設(shè)AE和AF之間的夾角為θ，
∵$\overrightarrow{AE}$=（-a，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{AF}$=（0，a，$\frac{a}{2}$），
∴cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{AF}|}$|=|$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}}{\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}•\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}}}$|=$\frac{1}{5}$，
∴AE和AF之間的夾角的余弦值為$\frac{1}{5}$．
（3）sin＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$＞=sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴四邊形AEC₁F的面積：
S=2S_△AEF=2×2×$|\overrightarrow{AE}|×|\overrightarrow{AF}|$×$sin＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}＞$
=4×$\frac{5}{4}{a}^{2}$×$\frac{2\sqrt{6}}{5}$
=2$\sqrt{6}{a}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的證明，考查兩異面直線的夾角的余弦值的求法，考查平行四邊形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．