Question

14．函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1（-1≤x≤2）的最小值為g（a）．
（Ⅰ） 當(dāng)a=2 時(shí)，求g（a）；
（Ⅱ） 求f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 當(dāng)a=2 時(shí)，f（x）=4^x-2^x+2，令t=2^x（-1≤x≤2），則$\frac{1}{2}$≤t≤4，y=f（x）=t²-4t，進(jìn)而可得答案；
（Ⅱ）令t=2^x（-1≤x≤2），則$\frac{1}{2}$≤t≤4，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論，可得f（x）的最小值g（a）的解析式．

解答 解：（Ⅰ） 當(dāng)a=2 時(shí)，f（x）=4^x-2^x+2，
令t=2^x（-1≤x≤2），則$\frac{1}{2}$≤t≤4，
y=f（x）=t²-4t，
當(dāng)t=2，即x=1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值g（a）=-4．
（Ⅱ）令t=2^x（-1≤x≤2），則$\frac{1}{2}$≤t≤4，
y=f（x）=t²-2at，其圖象關(guān)于直線t=a對(duì)稱，
若a＜$\frac{1}{2}$，則，函數(shù)f（x）的最小值g（a）=$-a+\frac{1}{4}$
若$\frac{1}{2}$≤a≤4，則，函數(shù)f（x）的最小值g（a）=-a²
若a＞4，則，函數(shù)f（x）的最小值g（a）=-8a+16，
綜上可得：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}-a+\frac{1}{4}，a＜\frac{1}{2}\\-{a}^{2}，\frac{1}{2}≤a≤4\\-8a+16，a＞4\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．