已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為;為橢圓上的四個(gè)點(diǎn)。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,,求四邊形的面積的最大值和最小值.
(Ⅰ)  ;(Ⅱ) 2,

試題分析:(Ⅰ)依題意可得橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為,在代入點(diǎn)即可得得到一個(gè)關(guān)于的等式從而可求出的值,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ) 由于所以直線都過F點(diǎn),從而又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032505842710.png" style="vertical-align:middle;" />所以直線與直線相互垂直.所以四邊形的面積為.故關(guān)鍵是求出線段的長(zhǎng)度.首先要分類存在垂直于軸的情況,和不垂直于軸的情況兩種.前者好求.后者通過假設(shè)一條直線聯(lián)立橢圓方程寫出弦長(zhǎng)的式子,類似地寫出另一條所得到的弦長(zhǎng).通過利用基本不等式即可求得面積的范圍.從而再結(jié)合垂直于軸的情況,求出最大值與最小值.
試題解析:(Ⅰ)由題橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為故可設(shè)橢圓方程為,過焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線方程為,設(shè)此直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)則,又,所以,又,聯(lián)立求得,,故橢圓方程為.
(Ⅱ)由,知,點(diǎn)共線,點(diǎn)共線,
即直線經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)。又知,
(i)當(dāng)斜率為零或不存在時(shí),
(ii)當(dāng)直線存在且不為零時(shí),可設(shè)斜率為,則由知,的斜率為
所以:直線方程為:。直線方程為:
將直線方程代入橢圓方程,消去并化簡(jiǎn)整理可得

設(shè)坐標(biāo)為,則,…………①
從而,將①代入化簡(jiǎn)得
,
換成可得,
所以=.
,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032506934646.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,故,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),.綜上(i)(ii)可知,即四邊形PQMN的最大面積為2,最小面積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知過點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為,過焦點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,直線,分別交橢圓的右準(zhǔn)線兩點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,試求直線的方程;
(3)記,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為,,試問是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn),過橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l,設(shè)直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn),且
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn),若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B,試判斷直線PA,PB是否相互垂直?并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0)。
(I)若直線與橢圓C有公共點(diǎn),求的取值范圍;
(II)設(shè)E是(I)中直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn),求|EF1|+|EF2|取得最小值時(shí),橢圓的方程;
(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)Q滿足   ,其中N為橢圓的下頂點(diǎn),求直線l在y軸上截距的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓的離心率為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn)
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)線段是橢圓過點(diǎn)的弦,且,求內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過作方向向量的直線交橢圓、兩點(diǎn),求證:為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的方程為,雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn),而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)。
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且L與的兩個(gè)焦點(diǎn)A和B滿足(其中O為原點(diǎn)),求的取值范圍。

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已知雙曲線,是雙曲線的左右頂點(diǎn),是雙曲線上除兩頂點(diǎn)外的一點(diǎn),直線與直線的斜率之積是,
求雙曲線的離心率;
若該雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是,求雙曲線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為5,則點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為(    )
A.5B.6C.7D.8

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