Question

3．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．
（1）求n；
（2）求含x²項(xiàng)的系數(shù)；
（3）求展開(kāi)式中有理項(xiàng)為第幾項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）寫出通項(xiàng)公式，根據(jù)第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則指數(shù)為0，解得即可，
（2）含x²項(xiàng)得r=$\frac{1}{2}$（n-6）=2，即可求出答案，
（3）令$\frac{10-2r}{3}$=k，（k∈Z），則10-2r=3k，即r=5-$\frac{3}{2}$k，解得即可

解答 解：（1）通項(xiàng)公式為T_r+1=C_n^r（-$\frac{1}{2}$）^r${x}^{\frac{n-2r}{3}}$，
∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
∴r=5時(shí)，有$\frac{n-2r}{3}$=0，即n=10，
（2）含x²項(xiàng)得r=$\frac{1}{2}$（n-6）=2，
∴所求的系數(shù)為C₁₀²（-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{45}{4}$，
（3）根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10-2x}{3}∈Z}\\{0≤x≤10}\\{x∈N}\end{array}\right.$，
令$\frac{10-2r}{3}$=k，（k∈Z），則10-2r=3k，即r=5-$\frac{3}{2}$k，
∵r∈N，
∴k應(yīng)為偶數(shù)，
∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8，
∴第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)以及展開(kāi)式定理，掌握通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，屬于中檔題．