Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，橢圓C過點(-

3

，1)且與拋物線y²=-8x有一個公共的焦點．
（1）求橢圓C方程；
（2）斜率為k的直線l過右焦點F₂，且與橢圓交于A，B兩點，求弦AB的長；
（3）P為直線x=3上的一點，在第（2）題的條件下，若△ABP為等邊三角形，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得c=2，

3

a2

+

1

a2-4

=1，由此能求出橢圓方程．
（2）直線l的方程為y=k（x-2）．聯(lián)立方程組

y=k(x-2) x2 6 + y2 2 =1.

，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0，由此利用韋達定理和弦長公式能求出|AB|．
（3）設(shè)AB的中點為M（x₀，y₀）．由中點坐標公式得x0=

6k2

3k2+1

，y0=-

2k

3k2+1

．直線MP的斜率為-

1

k

，又x_P=3，由此利用弦長公式能求出k=±1，從而求出直線l的方程．

解答： 解：（1）由題意得F₁（-2，0），
c=2…（2分）
又

3

a2

+

1

a2-4

=1，
得a⁴-8a²+12=0，解得a²=6或a²=2（舍去），…（2分）
則b²=2，…（1分）
故橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1．…（1分）
（2）直線l的方程為y=k（x-2）．…（1分）
聯(lián)立方程組

y=k(x-2) x2 6 + y2 2 =1.

，消去y并整理得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．…（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故x1+x2=

12k2

3k2+1

，x1x2=

12k2-6

3k2+1

．…（1分）
則|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 6 (k2+1)

3k2+1

．…（2分）
（3）設(shè)AB的中點為M（x₀，y₀）．
∵x1+x2=

12k2

3k2+1

=2x₀，∴x0=

6k2

3k2+1

，…（1分）
∵y₀=k（x₀-2），∴y0=-

2k

3k2+1

．…（1分）
直線MP的斜率為-

1

k

，又 x_P=3，
所以|MP|=

1+ 1 k2

•|x0-xP|=

k2+1 k2

•

3(k2+1)

(3k2+1)

．…（2分）
當△ABP為正三角形時，|MP|=

3

2

|AB|，
可得

k2+1 k2

•

3(k2+1)

(3k2+1)

=

3

2

•

2 6 (k2+1)

3k2+1

，…（1分）
解得k=±1．…（1分）
即直線l的方程為x-y-2=0，或x+y-2=0．…（1分）

點評：本題考查橢圓C方程的求法，考查弦AB的長的求法，考查直線l的方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．