14.已知函數(shù)f(x)滿足f(a+b)=f(a)•f(b),f(1)=2.則$\frac{{f}^{2}(1)+f(2)}{f(1)}+\frac{{f}^{2}(2)+f(4)}{f(3)}$+$\frac{{f}^{2}(3)+f(6)}{f(5)}$+…+$\frac{{f}^{2}(2016)+f(4032)}{f(4031)}$=8064.

分析 利用已知條件求出$\frac{f(n+1)}{f(n)}$的值,然后化簡(jiǎn)所求的表達(dá)式求解即可.

解答 解:函數(shù)f(x)滿足f(a+b)=f(a)•f(b),
當(dāng)a=b時(shí),可得f(2a)=f2(a),
令b=1,a=n,可得f(n+1)=f(n)•f(1),
即:$\frac{f(n+1)}{f(n)}=f(1)$=2,
則$\frac{{f}^{2}(1)+f(2)}{f(1)}+\frac{{f}^{2}(2)+f(4)}{f(3)}$+$\frac{{f}^{2}(3)+f(6)}{f(5)}$+…+$\frac{{f}^{2}(2016)+f(4032)}{f(4031)}$
=$\frac{2f(2)}{f(1)}$+$\frac{2f(4)}{f(3)}$+…+$\frac{2f(4032)}{f(4031)}$
=2[f(1)+f(1)+f(1)+…+f(1)]=2×2016×2
=8064.
故答案為:8064.

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,賦值法的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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14.已知{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,若a1+a2+a3=2,a4+a5+a6=8,則其前9項(xiàng)的和S9的值為42.

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5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)在過點(diǎn)(-$\frac{3}{2}$,-2)且與圓M:(x-1)2+(y+2)2=5相切的兩條直線和x-y+1=0所圍成的區(qū)域內(nèi),則z=|x+2y-3|的最小值為(  )
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$B.1C.$\sqrt{5}$D.5

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2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn=($\frac{{{a_n}+1}}{2}$)2(n∈N*).
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè)Tn為數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n項(xiàng)和,若Tn≤λan+1對(duì)?n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的最小值.

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9.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x},x≤1}\\{f(x-2),x>1}\end{array}\right.$,若方程f(x)-mx-1=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根,則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為( 。
A.($\frac{e-1}{2}$,1)∪(1,e-1)B.($\frac{e-1}{2}$,1)∪(1,e-1]C.($\frac{e-1}{3}$,1)∪(1,e-1)D.($\frac{e-1}{3}$,1)∪(1,e-1]

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19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式$\overrightarrow{CD}$2≥(m-2)$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+m($\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$)•($\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OA}$)對(duì)任何實(shí)數(shù)a,b,c,d都成立,則實(shí)數(shù)m的最大值是$\sqrt{5}$-1.

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6.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),當(dāng)x∈(0,1)時(shí)f(x)>0,且x,y∈(0,+∞)時(shí)總有f(x•y)=f(x)+f(y)
(1)求證:f($\frac{x}{y}$)=f(x)-f(y);
(2)證明:函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上為減函數(shù);
(3)若f(3)=1,且f(a)<f(a-1)+2,求a的取值范圍.

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3.復(fù)數(shù)$\frac{1}{(1+i)i}$在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( 。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

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4.已知區(qū)域D:$\left\{\begin{array}{l}{y≥2}\\{x+y-2≥0}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$,則x2+y2的最小值是( 。
A.5B.4C.$\frac{5}{2}$D.2

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