Question

9．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）-mx-1=0恰有兩個不同實根，則正實數m的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1）
• B． （$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1]
• C． （$\frac{e-1}{3}$，1）∪（1，e-1）
• D． （$\frac{e-1}{3}$，1）∪（1，e-1]

Answer 1

分析 方程f（x）-mx-1=0恰有兩個不同實根可轉化為函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$與直線y=mx+1的圖象有且只有兩個不同的交點，從而結合圖象求解．

解答 解：∵方程f（x）-mx-1=0恰有兩個不同實根，
∴函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$與直線y=mx+1的圖象有且只有兩個不同的交點，
作函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-2），x＞1}\end{array}\right.$與直線y=mx+1的圖象如下，

易知直線y=mx+1恒過點C（0，1），且點A（1，e），B（3，e）；
故${k}_{{1}_{1}}$=k_AC=$\frac{e-1}{1-0}$=e-1，${k}_{{l}_{3}}$=k_BC=$\frac{e-1}{3-0}$=$\frac{e-1}{3}$；
f′（x）=e^x，f′（0）=e⁰=1；
故${k}_{{l}_{2}}$=1；
故結合函數的圖象可知，
$\frac{e-1}{3}$＜m＜1或1＜m≤e-1，
故選D．

點評 本題考查了方程的根與函數的零點的關系應用及數形結合的思想應用，同時考查了分類討論與轉化思想的應用及導數的綜合應用，屬于中檔題．