Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對一切正整數(shù)n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n．
（1）證明：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設f（n）=（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$對于一切正整數(shù)n成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對一切正整數(shù)n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n．可得a_n+1=S_n+1-S_n，化簡整理即可得出．
（2）在S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n中，令n=1，得a₁=2，又a₂+a₁=6，解得a₂=4．利用遞推關系可得：a_n+2-a_n=4，數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為公差為4的等差數(shù)列，即可得出．
（3）f（n）=（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$對于一切正整數(shù)n成立，等價于$\sqrt{2n+1}$（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a}$對于一切正整數(shù)n成立．令g（n）=$\sqrt{2n+1}$（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$），通過作商判斷其單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：∵對一切正整數(shù)n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n．
∴a_n+1=S_n+1-S_n=$（n+1）^{2}+\frac{1}{2}{a}_{n+1}$-（n²+$\frac{1}{2}$a_n），
∴a_n+1+a_n=4n+2．
（2）解：在S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n中，令n=1，得a₁=2，
又a₂+a₁=6，解得a₂=4．
∵a_n+1+a_n=4n+2，a_n+2+a_n+1=4n+6，
兩式相減，得a_n+2-a_n=4，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為公差為4的等差數(shù)列，
∴當n為偶數(shù)時，a_n=a₂+$（\frac{n}{2}-1）$×4=2n．
當n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，由上式及（1）知：a_n=4n+2-a_n+1=2n，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2n．
（3）解：f（n）=（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$對于一切正整數(shù)n成立，
等價于$\sqrt{2n+1}$（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a}$對于一切正整數(shù)n成立．，
令g（n）=$\sqrt{2n+1}$（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$），
則由（2）知g（n）＞0，
∴$\frac{g（n+1）}{g（n）}$=$\frac{\sqrt{2n+3}（1-\frac{1}{{a}_{n+1}}）}{\sqrt{2n+1}}$=$\frac{\sqrt{2n+3}（1-\frac{1}{2n+2}）}{\sqrt{2n+1}}$=$\frac{\sqrt{（2n+2）^{2}-1}}{2n+2}$＜1．
∴g（n+1）＜g（n），即g（n）的值隨n的增大而減�。�
∴n∈N^*時，g（n）的最大值為g（1）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
若存在實數(shù)a，符合題意，則必有$\frac{2{a}^{2}-3}{2a}$$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即a（a-$\sqrt{3}$）$（a+\frac{\sqrt{3}}{2}）$＞0．
解得$-\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜0，或a$＞\sqrt{3}$．
因此，存在實數(shù)a，符合題意，其取值范圍為$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$∪$（\sqrt{3}，+∞）$．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列的通項公式、“放縮法”、不等式的解法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．