Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a，其中x∈[-2，2]．
（1）當a∈R時，討論它的單調性；
（2）若f（x）≥12-4a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）先求出函數(shù)的對稱軸，對對稱軸的范圍進行討論，從而得到函數(shù)的單調性；
（2）根據函數(shù)的單調性，結合二次函數(shù)的圖象及性質，得到不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²+ax+3-a，對稱軸方程為x=-

a

2

，
下面分三種情況討論：
當-

a

2

≤-2得a≥4，f（x）單調增區(qū)間為[-2，2]；
當-

a

2

≥2得a≤-4，f（x）單調減區(qū)間為[-2，2]；
當-4≤a≤4時，f（x）單調增區(qū)間為[-2，-

a

2

]，單調減區(qū)間為(-

a

2

，2]；
（2）方法一：當-

a

2

≤-2得a≥4，f（x）單調增區(qū)間為[-2，2]，f（x）_min=f（-2），
當-4≤a≤4時，f（x）單調增區(qū)間為[-2，-

a

2

]，單調減區(qū)間為（-

a

2

，2]，f(x)min=f(-

a

2

)，
當-

a

2

≥2得a≤-4，f（x）單調減區(qū)間為[-2，2]，f（x）_min=f（2），
若x∈[-2，2]時，有f（x）≥12-4a恒成立；
則

- a 2 ≤-2 f(-2)=7-3a≥12-4a

⇒a≥5，或

-2＜- a 2 ＜2 f(- a 2 )=- a2 4 +3-a≥12-4a

⇒無解，或

- a 2 ≥2 f(2)=7+a≥12-4a

⇒無解，
綜上可知，a≥5所以，a的取值范圍是[5，+∞）；
方法二：若x∈[-2，2]時，有f（x）≥12-4a恒成立；
則，f（-2）≥12-4a⇒a≥5，
而當a≥5時，f（x）在[-2，2]上單調遞增；所以，x∈[-2，2]，f（x）_min=f（-2），
若x∈[-2，2]時，有f（x）≥12-4a恒成立，
則

a≥5 f(-2)=7-3a≥12-4a

⇒a≥5，
所以，a的取值范圍是[5，+∞）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，函數(shù)的單調性，求參數(shù)的范圍問題，是一道中檔題．