Question

17．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：3x+2y-8=0，圓M：（x-3）²+（y-2）²=1．
（1）設A，B分別為直線l與圓M上的點，求線段AB長度的取值范圍；
（2）試直接寫出一個圓N（異于圓M）的方程（不必寫出過程），使得過直線l上任一點P均可作圓M與圓N的切線，切點分別為T_M，T_N，且PT_M=PT_N；
（3）求證：存在無窮多個圓N（異于圓M），滿足對每一個圓N，過直線l上任一點P均可作圓M與圓N的切線，切點分別為T_M，T_N，且PT_M=PT_N．

Answer 1

分析 （1）利用圓心到直線的距離以及垂徑定理集合圓的直徑求解即可．
（2）判斷圓的位置關系，寫出方程即可．
（3）設圓N：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0，a≠3），利用PT_M=PT_N，推出2a-3b）x+r²-a²-b²+8b-4=0．列出方程組，化簡證明即可．

解答 解：（1）易得圓心M（3，2）到直線l：3x+2y-8=0的距離$d=\frac{{|{3×3+2×2-8}|}}{{\sqrt{{3^2}+{2^2}}}}=\frac{5}{{\sqrt{13}}}＞1=r$，
故直線l與圓M相離，從而$AB\;≥\;\frac{{5\sqrt{13}}}{13}-1$，
所以線段AB長的取值范圍是$[{\frac{{5\sqrt{13}}}{13}-1\;，\;\;+∞}）$．（5分）
（2）易得圓M關于直線l對稱的圓必滿足題意，
故滿足題意的一個圓N的方程為：$（x-\frac{6}{13}）^{2}+（y-\frac{9}{13}）^{2}=1$．（8分）
（3）設圓N：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0，a≠3），
由PT_M=PT_N，
得PM²-1=PN²-r²，即（x-3）²+（y-2）²-1=（x-a）²+（y-b）²-r²，（10分）
整理得，2（a-3）x+（b-2）•2y+r²+12-a²-b²=0，
因為3x+2y-8=0，所以2y=8-3x，
從而2（a-3）x+（b-2）•（8-3x）+r²+12-a²-b²=0，
整理得，（2a-3b）x+r²-a²-b²+8b-4=0，（13分）
因為上式對任意的x∈R恒成立，所以$\left\{\begin{array}{l}2a-3b=0\;，\;\;\\{r^2}-{a^2}-{b^2}+8b-4=0\;，\;\;\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{3}a\;，\;\;\\{r^2}=\frac{13}{9}{a^2}-\frac{16}{3}a+4\;＞0（a≠3），\;\;\end{array}\right.$
所以圓N的方程為：${（x-a）^2}+{（{y-\frac{2}{3}a}）^2}=\frac{13}{9}{a^2}-\frac{16}{3}a+4$，即證．（16分）

點評 本題考查圓的方程的綜合應用，對稱知識以及圓的切線的應用，考查分析問題解決問題的能力．