Question

6．為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2016年舉行某一產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用t（t≥0）萬元滿足x=4-$\frac{k}{2t+1}$（k為常數(shù)）．如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2016年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均生產(chǎn)投入成本的1.5倍（生產(chǎn)投入成本包括生產(chǎn)固定投入和生產(chǎn)再投入兩部分）．
（1）求常數(shù)k，并將該廠家2016年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2016年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析 （1）利用不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件，可求k的值；確定每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格，結(jié)合廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍，即可求得函數(shù)解析式；
（2）利用基本不等式，即可求得最值．

解答 解：（1）由題意，不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件，知t=0時(shí)，x=1（萬件），
∴1=4-k，得k=3，
從而x=4-$\frac{3}{2t+1}$，又每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×$\frac{6+12x}{x}$元，
∴2016年的利潤(rùn)為y=1.5×$\frac{6+12x}{x}$×x-（6+12x+t）=3+6x-t=27-$\frac{18}{2t+1}$-t（t≥0）；
（2）設(shè)2t+1=m（m≥1），由（1）得，y=$\frac{55}{2}$-（$\frac{18}{m}$+$\frac{m}{2}$），
∵m≥01時(shí)，$\frac{18}{m}$+$\frac{m}{2}$≥2$\sqrt{9}$=6，
∴y≤$\frac{43}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{18}{m}$=$\frac{m}{2}$，即m=6，t=2.5（萬元）時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，y_max=$\frac{43}{2}$（萬元）．
答：該廠家2016年的促銷費(fèi)用投入2.5萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大值為$\frac{43}{2}$萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式．