Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，
（1）求證數(shù)列數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是等差數(shù)列
（2）求a_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，可得S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可證明．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．可得S_n，再利用遞推關(guān)系即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$，n=1時也成立．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{-2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．