Question

設函數(shù)f（x）=e^x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-3x的零點個數(shù)．
（2）記曲線y=f（x）在其上一點P（x₀，f（x₀））（其中x₀＜0）處的切線為l，l與坐標軸所圍成的三角形的面積為S．求S的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-3x的零點個數(shù)．
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，以及切線和坐標軸的交點坐標，利用三角形的面積公式即可得到結論．

解答： 解：（1）函數(shù)g（x）=f（x）-3x=e^x-3x，
則函數(shù)的導數(shù)g′（x）=e^x-3，
由g′（x）=e^x-3=0，解得x=ln3，
當x＞ln3時，g′（x）=e^x-3＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當x＜ln3時，g′（x）=e^x-3＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x=ln3時，函數(shù)g（x）取得極小值，無極大值，此時f（ln3）=3-3ln3＜0，
即函數(shù)g（x）=f（x）-3x的零點個數(shù)為2個．
（2）∵f（x）=e^x，∴f′（x）=e^x，
則點P（x₀，f（x₀））的切線方程為y-ex0=ex0（x-x₀），
令x=0，解得y=ex0（1-x₀），
令y=0，解得x=x₀-1，
∵x₀＜0，∴x=x₀-1＜0，
則l與坐標軸所圍成的三角形的面積為S=

1

2

|x₀-1|ex0（1-x₀）=

1

2

ex0（1-x₀）²，
則S′=

1

2

ex0（-1+x₀²），
∴當x₀＜-1時，S′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當-1＜x₀＜0時，S′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x₀=-1時，函數(shù)取得極大值也是最大值，
∴此時最大值為

1

2

×

1

e

×4=

2

e

．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值和極值，綜合性較強，運算量較大．