Question

6．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的直線交拋物線A、B兩點，且|AB|=4，這樣的直線可以作2條，則p的取值范圍是（　　）

• A． （0，4）
• B． （0，4]
• C． （0，2]
• D． （0，2）

Answer 1

分析 證明拋物線的焦點弦中通徑長最短，則要使?jié)M足|AB|=4的直線可以作2條，需通徑2p＜4，可得p的取值范圍．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的通徑長為2p．
當過拋物線焦點的直線與拋物線不垂直時，設直線方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$．
根據據拋物線性質，得|AB|=|AF|+|BF|=p+（x₁+x₂）=$p+p+\frac{2p}{{k}^{2}}＞2p$．
∴拋物線的焦點弦中通徑長最短．
則要使?jié)M足|AB|=4的直線可以作2條，則通徑2p＜4，即p＜2．
∴p的取值范圍是（0，2）．
故選：D．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查了拋物線的簡單性質，明確拋物線的焦點弦中通徑長最短是關鍵，是中檔題．