Question

17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=ccosB+3asin（A+B）．
（1）若$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，求角C；
（2）在（1）的條件下，若△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知可得：sinA=sinCcosB+3sinAsinC，再利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$\frac{sinB}{3sinA}=tanC$，又$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，可求tanC的值，結(jié)合范圍0＜C＜π，即可求得C的值．
（2）由（1）及三角形面積公式可求a，b的值，利用余弦定理即可解得c的值．

解答 解：（1）∵a=ccosB+3asin（A+B），
∴由正弦定理可得：sinA=sinCcosB+3sinAsinC，
可得：sin（B+C）=sinCcosB+3sinAsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB+3sinAsinC，
∴sinBcosC=3sinAsinC，
∴$\frac{sinB}{3sinA}=tanC$，
又∵$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
∴tanC=$\frac{sinB}{3sinA}=\frac{3a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{6}$…（6分）
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$，
由（1）可知$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴a=2，b=$\sqrt{3}a$=2$\sqrt{3}$，由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=4+12-2×$2×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4，
∴c=2…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．