Question

14．某單位利用周末時間組織員工進行一次“健康之路，攜手共筑”徒步走健身活動，有n人參加，現(xiàn)將所有參加人員按年齡情況分為[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]六組，其頻率分布直方圖如圖所示．已知[35，40）歲年齡段中的參加者有8人．
（1）求n的值并補全頻率分布直方圖；
（2）從[30，40）歲年齡段中采用分層抽樣的方法抽取5人作為活動的組織者，其中選取2人作為領(lǐng)隊，在選取的2名領(lǐng)隊中至少有1人的年齡在[35，40）內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （I）先求出年齡在[35，40）之間的頻率，從而求出n，進而得到第二組的頻率及矩形高，由此能作出頻率分布直方圖．
（II）由已知得[30，35）之間的人數(shù)為12，[35，40）之間的人數(shù)為8，從而采用分層抽樣抽取5人，其中[30，35）內(nèi)有3人，[35，40）內(nèi)有2人，由此利用列舉法能求出選取的2名領(lǐng)隊中至少有1人的年齡在[35，40）內(nèi)的概率．

解答 解：（I）年齡在[35，40）之間的頻率為0.04×5=0.2，
∵$\frac{8}{n}=0.2$，∴$n=\frac{8}{0.2}=40$．…（2分）
∵第二組的頻率為：1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴矩形高為$\frac{0.3}{5}=0.06$．…（4分）
所以頻率分布直方圖如右圖所示．…（6分）
（II）由（ I）知，[30，35）之間的人數(shù)為0.06×5×40=12，又[35，40）之間的人數(shù)為8，
因為[30，35）之間的人數(shù)與[35，40）之間的人數(shù)的比值為12：8=3：2，
所以采用分層抽樣抽取5人，其中[30，35）內(nèi)有3人，[35，40）內(nèi)有2人．…（8分）
記年齡在[30，35）歲的3人分別為a₁，a₂，a₃，
記年齡在[35，40）歲的2人為b₁，b₂．
選取2名領(lǐng)隊的情況有10種：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b₁），（a₂，b₁），（a₁，b₂），
（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）；
其中至少有1人的年齡在[35，40）內(nèi)的情況有7種：
（a₁，b₁），（a₂，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）．…（10分）
∴選取的2名領(lǐng)隊中至少有1人的年齡在[35，40）內(nèi)的概率為$\frac{7}{10}$．…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，注意列舉法和分層抽樣的性質(zhì)的合理運用．