Question

【題目】如圖，將正六邊形ABCDEF中的一半圖形ABCD繞AD翻折到AB1C1D，使得∠B1AF=60°．G是BF與AD的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ADEF⊥平面B1FG；
（Ⅱ）求直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由正六邊形對(duì)稱性可知BF⊥AD， 因此B1G⊥AD，F(xiàn)G⊥AD．
又B1G∩FG=G，B1G平面B1GF，F(xiàn)G平面B1GF，
所以AD⊥平面B1GF．
又因?yàn)锳D平面ADEF，
所以平面ADEF⊥平面B1FG．
（Ⅱ）（方法一）

由（Ⅰ）已得平面B1GF⊥平面ADEF．
作B1H⊥FG于H，
又由于平面B1GF∩平面ADEF=FG，
所以B1H⊥平面ADEF．
連接AH，則∠B1AH就是直線B1A與平面ADEF所成的角．
不妨設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為2．
則AF=AB1=2且∠B1AF=60°，∠B1AG=∠FAG=60°
得B1F=2， ．
在△B1GF中， = ．
． ，
，
所以直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值為 ．
（方法二）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD為x軸，
過(guò)A在平面ADEF內(nèi)作垂直于AD的直線為y軸，
過(guò)A作垂直于平面ADEF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

不妨設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為2．則 ， ，
設(shè) ．
由
得x①．
由 得 ②．
又 ③．
由①②③得 ．所以 ．
取平面ADEF的法向量 ． ．
所以直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值為
【解析】（Ⅰ）推導(dǎo)出B1G⊥AD，F(xiàn)G⊥AD，從而AD⊥平面B1GF，由此能證明平面ADEF⊥平面B1FG．（Ⅱ）法一：作B1H⊥FG于H，連接AH，則∠B1AH就是直線B1A與平面ADEF所成的角，由此能求出直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值．法二：以A為坐原點(diǎn)，以AD為x軸，過(guò)A在平面ADEF內(nèi)作垂直于AD的直線為y軸，過(guò)A作垂直于平面ADEF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB1與平面ADEF所成角的正弦值為 ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．