已知三點A，B，C的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，-1），C（cosα，sinα），其a∈（0，π）．
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值．
（2）若
AC
•
BC
=
2
3
，求
2sin2α+sin2α
1+tanα
的值．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用
專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運算、向量模的幾十個、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．
（2）利用數(shù)量積運算性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．
解答： 解：
AC
=（cosα-1，sinα），
BC
=（cosα，sinα+1）．
（1）∵|
AC
|=|
BC
|，
∴（cosα-1）2+sin2α=cos2α+（sinα+1）2，
∴-cosα=sinα⇒tanα=-1．
又0＜α＜π，∴α=
3π
4
．
（2）
2sin2α+sin2α
1+tanα
=
2sinα(sinα+cosα)
1+
sinα
cosα
=2sinαcosα．
∵
AC
•
BC
=
3
2
，
∴cosα（cosα-1）+sinα（sinα+1）=
3
2
，
化為sinα-cosα=
1
2
，
兩邊平方可得：2sinαcosα=
3
4
，
∴原式=
3
4
．
點評：本題考查了向量的坐標(biāo)運算、向量模的幾十個、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l是過點p（-1，2），直線的傾斜角為120°，圓方程ρ=2cos（θ+
π
3
）；
（1）求直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與圓相交于M，N兩點，求|PM|•|PN|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

當(dāng){1，a，
b
a
}={0，a2，a+b}時，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x．
（1）若x＞1，求證：f（x）＞2g（
x-1
x+1
）；
（2）是否存在實數(shù)k，使方程
1
2
g(x2)-f(1+x2)=k有四個不同的實根？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為24，邊OA比OC大5．E為BC的中點，以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F．
（1）求OA、OC的長；
（2）求證：DF為⊙O′的切線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）的定義[-1，1]上的增函數(shù)，求不等式f（x-1）＜f（1-3x）的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的一條內(nèi)角平分線CD的方程為2x+y-1=0，兩個頂點為A（1，2），B（-1，-1），求第三個頂點C的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（2，1），
b
=（3，4）．求
a
+
b
，
a
-
b
，3
a
+4
b
的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=b•2x的圖象都經(jīng)過點A（4，8），數(shù)列{an}滿足：a1=1，an=f（an-1）+g（n）（n≥2）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{
an
2n-1
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）求證：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
3
2
．

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